Python实现完全数的示例详解

一、前言

卷起来好吧，元旦已经过了，就开始写文章模式了。

这篇文章会对完全数的各种侦测进行详细解释。写作不易，支持一波～

二、完全数是什么

1、定义

老规矩，先来了解完全数是什么。

完全数，又称完美数，定义为：这个数的所有因数（不包括这个数本身）加起来刚好等于这个数。比如6就是完全数，因为6的因数有1，2，3（不包括6本身），1+2+3正好等于6。

所以如果有人给你扣6，那说明他在夸赞你十分完美（bushi。

完全数是一个叫毕达哥拉斯的提出来的，被誉为“最古老的数学问题”，这人还提出了我们熟悉的勾股定理和黄金比例。

目前一共找到了51个完全数，非常的稀有，比较小的有6、28、496、8128、33550336等等。

目前还没有人找到奇数完全数，也没有人能证明“没有奇数完全数”。但是，一个叫做奥斯丁·欧尔的人证明出来：要是有奇完全数，必须能表示成12x质数+1或者36x质数+9，并且在10^300以内没有奇完全数的存在。

完全数会越来越大，第39个完全数有25674127位数，如果用四号字字体打印出来，也能变成一本字典。

2、规律

这些数之间有没有一些规律呢？

有，并且很多。（以下规律仅仅是目前发现的完全数都符合这个定律，部分未证明）

第一，完全数都是以6或28结尾的。

第二，完全数都是三角形数，例如6可以表示成1+2+3，28可以表示成1+2+3+4+5+6+7。

第三，除了6以外都可以表示成连续隔2奇立方数之和。例如28表示成1^3+3^3，496表示成1^3+3^3+5^3+7^3。

第四，完全数的所有因数的倒数的和为2。例如6所有因数的倒数是1,1/2,1/3,1/6，相加为2。28所有因数的倒数是1,1/2,1/4,1/7,1/14,1/28，相加为2。

第五，完全数都可以表示成2的连续数次方之和。例如6可以表示成2^1+2^2，28可以表示成2^2+2^3+2^4。

第六，6以外的完全数经过碾转之后为1。碾转就是把他的各个位数相加一直到只剩一位数。例如28碾转数为：2+8=10，1+0=1。496碾转数为:4+9+6=19，1+9=10，1+0=1。

第七，6以外的完全数除以9一定余数为1。例如：28除以9=3…1，496除以9=55…1。

知道为啥有一个别名叫完美数了吧？太完美了！

3、梅森素数

之后又冒出来了一个梅森素数，这是欧几里得整出来的。我们定义P是一个质数，如果2^p-1也是质数，那么这个质数就是“梅森素数”。

知道梅森素数之后，把P带入公式2^（p-1）（2^p-1），咔咔一顿算，结果就是完全数。

我们想想是不是这样。

因为2是质数，2^2-1是3也是质数，那么3就是梅森素数。把2带入公式，咔咔一顿算结果就是6。

3是质数，2^3-1是7也是质数，那么7就是梅森素数。把3带入公式，咔咔一顿算结果就是28。

欧拉证明出来，所有完全数都符合这个形式。有了这个公式计算就更简便了。

三、版本（1.0）:硬算

接下来，我们先写程序硬算一遍。

我们需要让程序找到一个数的每一个除了本身之外的因数，还要把它们都加起来，这些程序可以放在一个函数里面。之后再套上循环，数自增重复调用就行了。是不是很简单？

先完成找数的所有因数的效果。

我们要创建一个函数，用for循环和range套上要寻找的数字，如果这个数是要寻找的数字的因数，就用一个变量自增。检测结束后检测因数和要寻找的数字是否相等，返回真或假。

def find(find_number):#新建函数find查找因数并进行判断
    he=0#初始化变量
    for i in range(1,find_number):#循环find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因数
            he=he+i#赋值
    #这时候，he就是find_number所有因数的和了
    if he==find_number:#比较
        return True
    else:
        return False

最关键的部分已经做好了，补全代码你可以自己试试～

补全代码，先询问要检测到哪里，之后while循环或者for+range来计数，调用函数获取信息，十分的简单。

完整程序就是这样：

def find(find_number):#新建函数find查找因数并进行判断
    he=0#初始化变量
    for i in range(1,find_number):#循环find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因数
            he=he+i
    #这时候，he就是find_number所有因数的和了
    if he==find_number:#比较
        return True
    else:
        return False
a=int(input("输入要检测1到多少位的完全数"))
for i in range(1,a+1):
    if find(i):
        print(i,"是完全数")

四、版本1.1:数的末尾侦测

从上文我们可以知道，完全数的末尾都是6或者28，这样的话，我们就又能节约一下运行时间了。

有人问了：诶诶诶，怎么知道一个整数的末尾是多少呢？

很简单，变成字符串再截取就行了。

def find(find_number):#新建函数find查找因数并进行判断
    he=0#初始化变量
    for i in range(1,find_number):#循环find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因数
            he=he+i
    #这时候，he就是find_number所有因数的和了
    if he==find_number:#比较
        return True
    else:
        return False
a=int(input("输入要检测1到多少位的完全数"))
for i in range(1,a+1):
    if str(i)[-1]=='6' or str(i)[-1]=='8':
        if find(i):
            print(i,"是完全数")

这样运行速度直接快了一倍好吧。

五、版本1.2:除以9侦测

完全数除以9都余1，我们也可用这一点来加快运行速度。不过，千万不要忽略“排除6”，再加一个是不是6的侦测。看起来更烦琐了，但是这样做将近能快3倍速度。

def find(find_number):#新建函数find查找因数并进行判断
    he=0#初始化变量
    for i in range(1,find_number):#循环find_number次
        if find_number%i==0:#如果i是find_number的因数
            he=he+i
    #这时候，he就是find_number所有因数的和了
    if he==find_number:#比较
        return True
    else:
        return False
a=int(input("输入要检测1到多少位的完全数"))
for i in range(1,a+1):
    if str(i)[-1]=='6' or str(i)[-1]=='8':
        if i%9==1 or i==6:
            if find(i):
                print(i,"是完全数")

六、版本2.0:梅森素数侦测

这是最后的终极方法，就是寻找梅森素数。

首先还是要侦测素数的大循环，if来判断素数是不是梅森素数，是的话就代入公式输出，十分的简单。

在上一个哥德巴 赫猜想的文章里面已经有了素数侦测的函数，这里直接拿过来用，诶嘿。

c，运行太快了，停不住了，诶！

（哔~）

我们再加一个等待时间就好了，有点快了。

from time import sleep
zhishu=[]#储存质数的列表
for i in range(2,10000):#循环检测质数
    for j in range(2,i-1):#2到i内的每一个数
        if i%j==0:#如果i不是质数
            break#退出循环
    else:#如果正常结束循环就是i是质数
        zhishu.append(i)#zhishu添加i
 
for shu in zhishu:
    if 2**shu-1 in zhishu:
        print(2**(shu-1)*(2**shu-1),"是完全数")
        sleep(1)

但是这样检测有一个致命的缺点——只能检测10000以内的，因为我们用的是in来判断2**shu-1是不是质数，大于10000就没有了，要是能有一个质数表数据的话，肯定能找他十几个。

到此这篇关于python实现完全数的示例详解的文章就介绍到这了,更多相关Python完全数内容请搜索编程网以前的文章或继续浏览下面的相关文章希望大家以后多多支持编程网！