第一章 随机事件和概率

§ 1.1 随机事件和样本空间

    概率论的任务是寻求随机现象发生的可能性，并对这种可能性的大小给出度量方式及其算法

    随机试验是对随机现象的观察

        ① 可在相同条件下重复进行

        ② 每次试验可能出现不同的结果，最终出现哪种结果，试验之前不能确定

        ③事先知道试验可能出现的全部结果

    随机试验的每一个可能结果成为一个随机事件，简称事件

        事件分为基本事件和复合事件。又可分为必然事件（记做Ω）和不可能事件（记做）

    样本空间：一个随机试验E产生的所有基本事件构成的集合称为样本空间（记做Ω），称其中元素为一个样本点，

    记做ω。 Ω={ω}。

§ 1.2 事件的关系和运算

    ① 事件的包含与相等

    ② 事件的和（并）与积（交）

    ③ 互不相容事件与对立事件

        设A、B为两事件，若A和B不能同时发生，即AB=，则称A和B是互不相容事件或互斥事件

        若A、B互不相容，且他们的和为必然事件，即AB=及A∪B=Ω，则称A和B为对立事件或互为逆事件

    ④ 两事件的差

        设A、B为两事件，“事件A发生而事件B不发生”是一个事件，称为事件A和B的差事件，记做A-B

    事件的运算性质：

    ① 交换律：A∪B=B∪A，AB=BA;

    ② 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);

    ③ 分配律：A(B∪C)=(AB)∪(AC),

               A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);

    ④ 德摩根（De Morgan）对偶律：

        （A∪B）的逆=A的逆交B的逆；    AB的逆=A的逆∪B的逆

§ 1.3 事件的概率及其计算

    概率的统计定义——定义1.1： P（A）≈n/N

        ① 非负性 ② 规范性 ③ 有限可加性

    古典型概率：① 有限性 ②等可能性

        P（A）=（A中所有样本点数）/Ω中样本点总数=m/n

        n的计数规则：加法原理、乘法原理

    超几何分布

    几何型概率

§ 1.4 概率的公理化定义

    设有随机试验E，E的样本空间为Ω，记包括Ω在内的E的所有事件组成的集合族为￡，若对￡中的任一个事件A

    都能赋予一个实数P（A），且P（A）满足条件：

        ① 非负性：0<=P(A)<=1

        ② 规范性：P（Ω）=1

        ③ 可列可加性： 对两两互不相容的事件A,A,A…,有

                    P（（i=1，∞）∑ai）=(i=1，∞)∑P（Ai）

            则称P（A）为事件A的概率

    性质1：不可能事件概率为0，即P（）=0

    性质2: 有限可加性

    性质3：（逆事件）P（A的逆）=1-P（A）

    性质4： P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）

    性质5： （加法公式）设A、B、C为任意三个事件，P（A∪B）=P(A)+P(B)-P(AB)

            P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

§ 1.5 条件概率和事件的独立性

    条件概率：P(A|B)=P(AB)/P(B)

        非负性：0<=P(A|B)<=1

        规范性：P(Ω|B)=1

        可列可加性：

    P（A的逆|B）=1-P(A|B)

    乘法公式： P（AB）=P(A|B)P(B)  当P（B）>0时

                P(AB)=P(B|A)P(A)

    全概率公式（定理1.1）：设样本空间Ω的一个划分为A,A,A…，且P（Ai）>0,i=1,2,...，n,则对任一事件B

    含于Ω，有    P（B）=（i=1，n）∑P（B|Ai）P（Ai）

    贝叶斯公式： 设A,A,A… 为一个样本空间Ω的一个划分，且P（Ai）>0,i=1,2,3,...,n.对任意的随机事件B

    含于Ω，若P（B）>0,则P（Ai|B）=P（B|Ai）P（Ai）/（（j=1,n）∑P(B|Aj)P(Aj)）