PostgreSQL的B-tree索引

结构

B-tree索引适合用于存储排序的数据。对于这种数据类型需要定义大于、大于等于、小于、小于等于操作符。

通常情况下，B-tree的索引记录存储在数据页中。叶子页中的记录包含索引数据（keys）以及指向heap tuple记录（即表的行记录TIDs）的指针。内部页中的记录包含指向索引子页的指针和子页中最小值。

B-tree有几点重要的特性：

1、B-tree是平衡树，即每个叶子页到root页中间有相同个数的内部页。因此查询任何一个值的时间是相同的。

2、B-tree中一个节点有多个分支，即每页（通常8KB）具有许多TIDs。因此B-tree的高度比较低，通常4到5层就可以存储大量行记录。

3、索引中的数据以非递减的顺序存储（页之间以及页内都是这种顺序），同级的数据页由双向链表连接。因此不需要每次都返回root，通过遍历链表就可以获取一个有序的数据集。

下面是一个索引的简单例子，该索引存储的记录为整型并只有一个字段：

该索引最顶层的页是元数据页，该数据页存储索引root页的相关信息。内部节点位于root下面，叶子页位于最下面一层。向下的箭头表示由叶子节点指向表记录（TIDs）。

等值查询

例如通过"indexed-field = expression"形式的条件查询49这个值。

root节点有三个记录：(4,32,64)。从root节点开始进行搜索，由于32≤ 49 < 64，所以选择32这个值进入其子节点。通过同样的方法继续向下进行搜索一直到叶子节点，最后查询到49这个值。

实际上，查询算法远不止看上去的这么简单。比如，该索引是非唯一索引时，允许存在许多相同值的记录，并且这些相同的记录不止存放在一个页中。此时该如何查询？我们返回到上面的的例子，定位到第二层节点(32,43,49)。如果选择49这个值并向下进入其子节点搜索，就会跳过前一个叶子页中的49这个值。因此，在内部节点进行等值查询49时，定位到49这个值，然后选择49的前一个值43，向下进入其子节点进行搜索。最后，在底层节点中从左到右进行搜索。

(另外一个复杂的地方是，查询的过程中树结构可能会改变，比如分裂)

非等值查询

通过"indexed-field ≤ expression" (or "indexed-field ≥ expression")查询时，首先通过"indexed-field = expression"形式进行等值（如果存在该值）查询，定位到叶子节点后，再向左或向右进行遍历检索。

下图是查询 n ≤ 35的示意图：

大于和小于可以通过同样的方法进行查询。查询时需要排除等值查询出的值。

范围查询

 范围查询"expression1 ≤ indexed-field ≤ expression2"时，需要通过 "expression1 ≤ indexed-field =expression2"找到一匹配值，然后在叶子节点从左到右进行检索，一直到不满足"indexed-field ≤ expression2" 的条件为止；或者反过来，首先通过第二个表达式进行检索，在叶子节点定位到该值后，再从右向左进行检索，一直到不满足第一个表达式的条件为止。

下图是23 ≤ n ≤ 64的查询示意图:

案例

下面是一个查询计划的实例。通过demo database中的aircraft表进行介绍。该表有9行数据，由于整个表只有一个数据页，所以执行计划不会使用索引。为了解释说明问题，我们使用整个表进行说明。

demo=# select * from aircrafts;
 aircraft_code |        model        | range
---------------+---------------------+-------
 773           | Boeing 777-300      | 11100
 763           | Boeing 767-300      |  7900
 SU9           | Sukhoi SuperJet-100 |  3000
 320           | Airbus A320-200     |  5700
 321           | Airbus A321-200     |  5600
 319           | Airbus A319-100     |  6700
 733           | Boeing 737-300      |  4200
 CN1           | Cessna 208 Caravan  |  1200
 CR2           | Bombardier CRJ-200  |  2700
(9 rows)
demo=# create index on aircrafts(range);
demo=# set enable_seqscan = off;

（更准确的方式：create index on aircrafts using btree(range)，创建索引时默认构建B-tree索引。）

等值查询的执行计划：

demo=# explain(costs off) select * from aircrafts where range = 3000;
                    QUERY PLAN                     
---------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts
   Index Cond: (range = 3000)
(2 rows)

非等值查询的执行计划：

demo=# explain(costs off) select * from aircrafts where range < 3000;
                    QUERY PLAN                    
---------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts
   Index Cond: (range < 3000)
(2 rows)

范围查询的执行计划：

demo=# explain(costs off) select * from aircrafts
where range between 3000 and 5000;
                     QUERY PLAN                      
-----------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_range_idx on aircrafts
   Index Cond: ((range >= 3000) AND (range <= 5000))
(2 rows)

排序

再次强调，通过index、index-only或bitmap扫描，btree访问方法可以返回有序的数据。因此如果表的排序条件上有索引，优化器会考虑以下方式：表的索引扫描；表的顺序扫描然后对结果集进行排序。

排序顺序

当创建索引时可以明确指定排序顺序。如下所示，在range列上建立一个索引，并且排序顺序为降序：

demo=# create index on aircrafts(range desc);

本案例中，大值会出现在树的左边，小值出现在右边。为什么有这样的需求？这样做是为了多列索引。创建aircraft的一个视图，通过range分成3部分：

demo=# create view aircrafts_v as
select model,
       case
           when range < 4000 then 1
           when range < 10000 then 2
           else 3
       end as class
from aircrafts;
 
 
demo=# select * from aircrafts_v;
        model        | class
---------------------+-------
 Boeing 777-300      |     3
 Boeing 767-300      |     2
 Sukhoi SuperJet-100 |     1
 Airbus A320-200     |     2
 Airbus A321-200     |     2
 Airbus A319-100     |     2
 Boeing 737-300      |     2
 Cessna 208 Caravan  |     1
 Bombardier CRJ-200  |     1
(9 rows)

然后创建一个索引（使用下面表达式）：

demo=# create index on aircrafts(  (case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end),  model);

现在，可以通过索引以升序的方式获取排序的数据：

demo=# select class, model from aircrafts_v order by class, model;
 class |        model        
-------+---------------------
     1 | Bombardier CRJ-200
     1 | Cessna 208 Caravan
     1 | Sukhoi SuperJet-100
     2 | Airbus A319-100
     2 | Airbus A320-200
     2 | Airbus A321-200
     2 | Boeing 737-300
     2 | Boeing 767-300
     3 | Boeing 777-300
(9 rows)
 
 
demo=# explain(costs off)
select class, model from aircrafts_v order by class, model;
                       QUERY PLAN                       
--------------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_case_model_idx on aircrafts
(1 row)

同样，可以以降序的方式获取排序的数据：

demo=# select class, model from aircrafts_v order by class desc, model desc;
 class |        model        
-------+---------------------
     3 | Boeing 777-300
     2 | Boeing 767-300
     2 | Boeing 737-300
     2 | Airbus A321-200
     2 | Airbus A320-200
     2 | Airbus A319-100
     1 | Sukhoi SuperJet-100
     1 | Cessna 208 Caravan
     1 | Bombardier CRJ-200
(9 rows)
demo=# explain(costs off)
select class, model from aircrafts_v order by class desc, model desc;
                           QUERY PLAN                            
-----------------------------------------------------------------
 Index Scan BACKWARD using aircrafts_case_model_idx on aircrafts
(1 row)

然而，如果一列以升序一列以降序的方式获取排序的数据的话，就不能使用索引，只能单独排序：

demo=# explain(costs off)
select class, model from aircrafts_v order by class ASC, model DESC;
                   QUERY PLAN                    
-------------------------------------------------
 Sort
   Sort Key: (CASE ... END), aircrafts.model DESC
   ->  Seq Scan on aircrafts
(3 rows)

（注意，最终执行计划会选择顺序扫描，忽略之前设置的enable_seqscan = off。因为这个设置并不会放弃表扫描，只是设置他的成本----查看costs on的执行计划）

若有使用索引，创建索引时指定排序的方向：

demo=# create index aircrafts_case_asc_model_desc_idx on aircrafts(
 (case
    when range < 4000 then 1
    when range < 10000 then 2
    else 3
  end) ASC,
  model DESC);
 
 
demo=# explain(costs off)
select class, model from aircrafts_v order by class ASC, model DESC;
                           QUERY PLAN                            
-----------------------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_case_asc_model_desc_idx on aircrafts
(1 row)

列的顺序

当使用多列索引时与列的顺序有关的问题会显示出来。对于B-tree，这个顺序非常重要：页中的数据先以第一个字段进行排序，然后再第二个字段，以此类推。

下图是在range和model列上构建的索引：

当然，上图这么小的索引在一个root页足以存放。但是为了清晰起见，特意将其分成几页。

从图中可见，通过类似的谓词class = 3（仅按第一个字段进行搜索）或者class = 3 and model = 'Boeing 777-300'（按两个字段进行搜索）将非常高效。

然而，通过谓词model = 'Boeing 777-300'进行搜索的效率将大大降低：从root开始，判断不出选择哪个子节点进行向下搜索，因此会遍历所有子节点向下进行搜索。这并不意味着永远无法使用这样的索引----它的效率有问题。例如，如果aircraft有3个classes值，每个class类中有许多model值，此时不得不扫描索引1/3的数据，这可能比全表扫描更有效。

但是，当创建如下索引时：

demo=# create index on aircrafts(  model,  (case when range < 4000 then 1 when range < 10000 then 2 else 3 end));

索引字段的顺序会改变：

通过这个索引，model = 'Boeing 777-300'将会很有效，但class = 3则没这么高效。

NULLs

postgresql的B-tree支持在NULLs上创建索引，可以通过IS NULL或者IS NOT NULL的条件进行查询。

考虑flights表，允许NULLs：

demo=# create index on flights(actual_arrival);
demo=# explain(costs off) select * from flights where actual_arrival is null;
                      QUERY PLAN                       
-------------------------------------------------------
 Bitmap Heap Scan on flights
   Recheck Cond: (actual_arrival IS NULL)
   ->  Bitmap Index Scan on flights_actual_arrival_idx
         Index Cond: (actual_arrival IS NULL)
(4 rows)

NULLs位于叶子节点的一端或另一端，这依赖于索引的创建方式（NULLS FIRST或NULLS LAST）。如果查询中包含排序，这就显得很重要了：如果SELECT语句在ORDER BY子句中指定NULLs的顺序索引构建的顺序一样（NULLS FIRST或NULLS LAST），就可以使用整个索引。

下面的例子中，他们的顺序相同，因此可以使用索引：

demo=# explain(costs off)
select * from flights order by actual_arrival NULLS LAST;
                       QUERY PLAN                      
--------------------------------------------------------
 Index Scan using flights_actual_arrival_idx on flights
(1 row)

下面的例子，顺序不同，优化器选择顺序扫描然后进行排序：

demo=# explain(costs off)
select * from flights order by actual_arrival NULLS FIRST;
               QUERY PLAN              
----------------------------------------
 Sort
   Sort Key: actual_arrival NULLS FIRST
   ->  Seq Scan on flights
(3 rows)

NULLs必须位于开头才能使用索引：

demo=# create index flights_nulls_first_idx on flights(actual_arrival NULLS FIRST);
demo=# explain(costs off)
select * from flights order by actual_arrival NULLS FIRST;
                     QUERY PLAN                      
-----------------------------------------------------
 Index Scan using flights_nulls_first_idx on flights
(1 row)

像这样的问题是由NULLs引起的而不是无法排序，也就是说NULL和其他这比较的结果无法预知：

demo=# \pset null NULL
demo=# select null < 42;
 ?column?
----------
 NULL
(1 row)

这和B-tree的概念背道而驰并且不符合一般的模式。然而NULLs在数据库中扮演者很重要的角色，因此不得不为NULL做特殊设置。

由于NULLs可以被索引，因此即使表上没有任何标记也可以使用索引。（因为这个索引包含表航记录的所有信息）。如果查询需要排序的数据，而且索引确保了所需的顺序，那么这可能是由意义的。这种情况下，查询计划更倾向于通过索引获取数据。

属性

下面介绍btree访问方法的特性。

 amname |     name      | pg_indexam_has_property
--------+---------------+-------------------------
 btree  | can_order     | t
 btree  | can_unique    | t
 btree  | can_multi_col | t
 btree  | can_exclude   | t

可以看到，B-tree能够排序数据并且支持唯一性。同时还支持多列索引，但是其他访问方法也支持这种索引。我们将在下次讨论EXCLUDE条件。

     name      | pg_index_has_property
---------------+-----------------------
 clusterable   | t
 index_scan    | t
 bitmap_scan   | t
 backward_scan | t

Btree访问方法可以通过以下两种方式获取数据：index scan以及bitmap scan。可以看到，通过tree可以向前和向后进行遍历。

      name          | pg_index_column_has_property
--------------------+------------------------------
 asc                | t
 desc               | f
 nulls_first        | f
 nulls_last         | t
 orderable          | t
 distance_orderable | f
 returnable         | t
 search_array       | t
 search_nulls       | t

前四种特性指定了特定列如何精确的排序。本案例中，值以升序（asc）进行排序并且NULLs在后面（nulls_last）。也可以有其他组合。

search_array的特性支持向这样的表达式：

demo=# explain(costs off)
select * from aircrafts where aircraft_code in ('733','763','773');
                           QUERY PLAN                            
-----------------------------------------------------------------
 Index Scan using aircrafts_pkey on aircrafts
   Index Cond: (aircraft_code = ANY ('{733,763,773}'::bpchar[]))
(2 rows)

returnable属性支持index-only scan，由于索引本身也存储索引值所以这是合理的。下面简单介绍基于B-tree的覆盖索引。

具有额外列的唯一索引

前面讨论了：覆盖索引包含查询所需的所有值，需不要再回表。唯一索引可以成为覆盖索引。

假设我们查询所需要的列添加到唯一索引，新的组合唯一键可能不再唯一，同一列上将需要2个索引：一个唯一，支持完整性约束；另一个是非唯一，为了覆盖索引。这当然是低效的。

在我们公司 Anastasiya Lubennikova @ lubennikovaav 改进了btree，额外的非唯一列可以包含在唯一索引中。我们希望这个补丁可以被社区采纳。实际上Postgresql11已经合了该补丁。

考虑表bookings：

demo=# begin;
demo=# alter table bookings drop constraint bookings_pkey cascade;
demo=# alter table bookings add primary key using index bookings_pkey2;
demo=# alter table tickets add foreign key (book_ref) references bookings (book_ref);
demo=# commit;

然后表结构：

demo=# \d bookings
              Table "bookings.bookings"
    Column    |           Type           | Modifiers
--------------+--------------------------+-----------
 book_ref     | character(6)             | not null
 book_date    | timestamp with time zone | not null
 total_amount | numeric(10,2)            | not null
Indexes:
    "bookings_pkey2" PRIMARY KEY, btree (book_ref) INCLUDE (book_date)
Referenced by:
TABLE "tickets" CONSTRAINT "tickets_book_ref_fkey" FOREIGN KEY (book_ref) REFERENCES bookings(book_ref)

此时，这个索引可以作为唯一索引工作也可以作为覆盖索引：

demo=# explain(costs off)
select book_ref, book_date from bookings where book_ref = '059FC4';
                    QUERY PLAN                    
--------------------------------------------------
 Index Only Scan using bookings_pkey2 on bookings
   Index Cond: (book_ref = '059FC4'::bpchar)
(2 rows)

创建索引

众所周知，对于大表，加载数据时最好不要带索引；加载完成后再创建索引。这样做不仅提升效率还能节省空间。

创建B-tree索引比向索引中插入数据更高效。所有的数据大致上都已排序，并且数据的叶子页已创建好，然后只需构建内部页直到root页构建成一个完整的B-tree。

这种方法的速度依赖于RAM的大小，受限于参数maintenance_work_mem。因此增大该参数值可以提升速度。对于唯一索引，除了分配maintenance_work_mem的内存外，还分配了work_mem的大小的内存。

比较

前面，提到PG需要知道对于不同类型的值调用哪个函数，并且这个关联方法存储在哈希访问方法中。同样，系统必须找出如何排序。这在排序、分组（有时）、merge join中会涉及。PG不会将自身绑定到操作符名称，因为用户可以自定义他们的数据类型并给出对应不同的操作符名称。

例如bool_ops操作符集中的比较操作符：

postgres=# select   amop.amopopr::reGoperator as opfamily_operator,
         amop.amopstrategy
from     pg_am am,
         pg_opfamily opf,
         pg_amop amop
where    opf.opfmethod = am.oid
and      amop.amopfamily = opf.oid
and      am.amname = 'btree'
and      opf.opfname = 'bool_ops'
order by amopstrategy;
  opfamily_operator  | amopstrategy
---------------------+--------------
 <(boolean,boolean)  |            1
 <=(boolean,boolean) |            2
 =(boolean,boolean)  |            3
 >=(boolean,boolean) |            4
 >(boolean,boolean)  |            5
(5 rows)

这里可以看到有5种操作符，但是不应该依赖于他们的名字。为了指定哪种操作符做什么操作，引入策略的概念。为了描述操作符语义，定义了5种策略：

        1 — less

        2 — less or equal

        3 — equal

        4 — greater or equal

        5 — greater

postgres=# select   amop.amopopr::regoperator as opfamily_operator
from     pg_am am,
         pg_opfamily opf,
         pg_amop amop
where    opf.opfmethod = am.oid
and      amop.amopfamily = opf.oid
and      am.amname = 'btree'
and      opf.opfname = 'integer_ops'
and      amop.amopstrategy = 1
order by opfamily_operator;
  pfamily_operator  
----------------------
 <(integer,bigint)
 <(smallint,smallint)
 <(integer,integer)
 <(bigint,bigint)
 <(bigint,integer)
 <(smallint,integer)
 <(integer,smallint)
 <(smallint,bigint)
 <(bigint,smallint)
(9 rows)

一些操作符族可以包含几种操作符，例如integer_ops包含策略1的几种操作符：

正因如此，当比较类型在一个操作符族中时，不同类型值的比较，优化器可以避免类型转换。

索引支持的新数据类型

文档中提供了一个创建符合数值的新数据类型，以及对这种类型数据进行排序的操作符类。该案例使用C语言完成。但不妨碍我们使用纯SQL进行对比试验。

创建一个新的组合类型：包含real和imaginary两个字段

postgres=# create type complex as (re float, im float);

创建一个包含该新组合类型字段的表：

postgres=# create table numbers(x complex);
postgres=# insert into numbers values ((0.0, 10.0)), ((1.0, 3.0)), ((1.0, 1.0));

现在有个疑问，如果在数学上没有为他们定义顺序关系，如何进行排序？

已经定义好了比较运算符：

postgres=# select * from numbers order by x;
   x    
--------
 (0,10)
 (1,1)
 (1,3)
(3 rows)

默认情况下，对于组合类型排序是分开的：首先比较第一个字段然后第二个字段，与文本字符串比较方法大致相同。但是我们也可以定义其他的排序方式，例如组合数字可以当做一个向量，通过模值进行排序。为了定义这样的顺序，我们需要创建一个函数：

postgres=# create function modulus(a complex) returns float as $$
    select sqrt(a.re*a.re + a.im*a.im);
$$ immutable language sql;
 
 
//此时，使用整个函数系统的定义5种操作符：
postgres=# create function complex_lt(a complex, b complex) returns boolean as $$
    select modulus(a) < modulus(b);
$$ immutable language sql;
 
postgres=# create function complex_le(a complex, b complex) returns boolean as $$
    select modulus(a) <= modulus(b);
$$ immutable language sql;
 
postgres=# create function complex_eq(a complex, b complex) returns boolean as $$
    select modulus(a) = modulus(b);
$$ immutable language sql;
 
postgres=# create function complex_ge(a complex, b complex) returns boolean as $$
    select modulus(a) >= modulus(b);
$$ immutable language sql;
 
postgres=# create function complex_gt(a complex, b complex) returns boolean as $$
    select modulus(a) > modulus(b);
$$ immutable language sql;

然后创建对应的操作符：

postgres=# create operator #<#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_lt);
postgres=# create operator #<=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_le);
postgres=# create operator #=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_eq);
postgres=# create operator #>=#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_ge);
postgres=# create operator #>#(leftarg=complex, rightarg=complex, procedure=complex_gt);

此时，可以比较数字：

postgres=# select (1.0,1.0)::complex #<# (1.0,3.0)::complex;
 ?column?
----------
 t
(1 row)

除了整个5个操作符，还需要定义函数：小于返回-1；等于返回0；大于返回1。其他访问方法可能需要定义其他函数：

postgres=# create function complex_cmp(a complex, b complex) returns integer as $$
    select case when modulus(a) < modulus(b) then -1
                when modulus(a) > modulus(b) then 1
                else 0
           end;
$$ language sql;

创建一个操作符类：

postgres=# create operator class complex_ops
default for type complex
using btree as
    operator 1 #<#,
    operator 2 #<=#,
    operator 3 #=#,
    operator 4 #>=#,
    operator 5 #>#,
function 1 complex_cmp(complex,complex);
 
//排序结果：
postgres=# select * from numbers order by x;
   x    
--------
 (1,1)
 (1,3)
 (0,10)
(3 rows)
 
//可以使用此查询获取支持的函数：
 
postgres=# select amp.amprocnum,
       amp.amproc,
       amp.amproclefttype::regtype,
       amp.amprocrighttype::regtype
from   pg_opfamily opf,
       pg_am am,
       pg_amproc amp
where  opf.opfname = 'complex_ops'
and    opf.opfmethod = am.oid
and    am.amname = 'btree'
and    amp.amprocfamily = opf.oid;
 amprocnum |   amproc    | amproclefttype | amprocrighttype
-----------+-------------+----------------+-----------------
         1 | complex_cmp | complex        | complex
(1 row)

内部结构

使用pageinspect插件观察B-tree结构：

demo=# create extension pageinspect;

索引的元数据页：

demo=# select * from bt_metap('ticket_flights_pkey');
 magic  | version | root | level | fastroot | fastlevel
--------+---------+------+-------+----------+-----------
 340322 |       2 |  164 |     2 |      164 |         2
(1 row)

值得关注的是索引level：不包括root，有一百万行记录的表其索引只需要2层就可以了。

Root页，即164号页面的统计信息：

demo=# select type, live_items, dead_items, avg_item_size, page_size, free_size
from bt_page_stats('ticket_flights_pkey',164);
 type | live_items | dead_items | avg_item_size | page_size | free_size
------+------------+------------+---------------+-----------+-----------
 r    |         33 |          0 |            31 |      8192 |      6984
(1 row)

该页中数据：

demo=# select itemoffset, ctid, itemlen, left(data,56) as data
from bt_page_items('ticket_flights_pkey',164) limit 5;
 itemoffset |  ctid   | itemlen |                           data                           
------------+---------+---------+----------------------------------------------------------
          1 | (3,1)   |       8 |
          2 | (163,1) |      32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 33 30 35 37 37 31 00 00 ff 5f 00
          3 | (323,1) |      32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 34 32 33 36 36 32 00 00 4f 78 00
          4 | (482,1) |      32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 35 33 30 38 39 33 00 00 4d 1e 00
          5 | (641,1) |      32 | 1d 30 30 30 35 34 33 32 36 35 35 37 38 35 00 00 2b 09 00
(5 rows)

第一个tuple指定该页的最大值，真正的数据从第二个tuple开始。很明显最左边子节点的页号是163，然后是323。反过来，可以使用相同的函数搜索。

PG10版本提供了"amcheck"插件，该插件可以检测B-tree数据的逻辑一致性，使我们提前探知故障。

原文

https://habr.com/en/company/postgrespro/blog/443284/