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文章目录 1. 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵之间的关系2. 缩放变换、平移变换和旋转变换2. python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角互相转化 由于在平时总是或多或少的遇到平移旋转的问题,
假设有两个向量 a1 = ( x1 , y1 , z1 ) a_1 = (x_1, y_1, z_1) a1=(x1,y1,z1)和 a2 = ( x2 , y2 , z2 ) a_2 = (x_2, y_2, z_2) a2=(x2,y2,z2),它们的转换关系为:
a 1 =R∗ a 2 +T a_1 = R * a_2 + T a1=R∗a2+T
这里 R R R就是它的旋转矩阵
, T T T就是它的平移矩阵
。使用齐次方式表示如下:
( a 1 1 ) = ( R T 0 1 ) ∗ ( a 2 1 ) \begin{pmatrix} a_1\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} R&T\\ 0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} a_2\\1 \end{pmatrix} (a11)=(R0T1)∗(a21)
使用元素值替换后,表示如下:
( x 1 y 1 z 1 1 ) = ( r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t 3 0 0 0 1 ) ∗ ( x 2 y 3 z 2 1 ) \begin{pmatrix} x_1\\y_1\\z_1\\1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix}* \begin{pmatrix} x_2\\y_3\\z_2\\1 \end{pmatrix} x1y1z11 = r11r21r310r12r22r320r13r23r330t1t2t31 ∗ x2y3z21
在仿射变换中的转换矩阵表示先线性变换再平移。在这里转换矩阵
表示如下:
转换矩阵= ( r 11 r 12 r 13 t 1 r 21 r 22 r 23 t 2 r 31 r 32 r 33 t 3 0 0 0 1 ) 转换矩阵= \begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}&t_{1}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}&t_{2}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33}&t_{3}\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} 转换矩阵= r11r21r310r12r22r320r13r23r330t1t2t31
平移矩阵
表示如下:
平移矩阵T= ( t 1 t 2 t 3 ) 平移矩阵T=\begin{pmatrix} t_{1}\\ t_{2}\\ t_{3}\\ \end{pmatrix} 平移矩阵T= t1t2t3
旋转矩阵
表示如下:
旋转矩阵R= ( r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ) 旋转矩阵R=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix} 旋转矩阵R= r11r21r31r12r22r32r13r23r33
如果理解以上知识点之后,缩放变换、平移变换和旋转变换的特殊情况也迎刃而解。
缩放变换只是在尺度上进行改变
,所以它的变换形式如下:
平移变换的时候,角度不发生改变,也就是旋转矩阵R为单位矩阵
,所以它的变换形式如下:
当空间内的物体绕着 x 轴,y 轴或者 z 轴旋转的时候,变换矩阵为:
对于一般性的旋转问题,可以用简单的旋转描述复杂的旋转。用 x 轴,y 轴和 z 轴上的旋转来定义旋转:
这三个角就被称作欧拉角(Euler angles)。
在应用中,我们往往会遇到旋转矩阵、四元数和欧拉角之间的互相转换,在这里,我们只使用Python代码来实现它们之间互相转换。
from scipy.spatial.transfORM import Rotation as Rdef quaterNIOn2euler(quaternion): r = R.from_quat(quaternion) euler = r.as_euler('xyz', degrees=True) return eulerdef euler2quaternion(euler): r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True) quaternion = r.as_quat() return quaterniondef euler2rotation(euler): r = R.from_euler('xyz', euler, degrees=True) rotation_matrix = r.as_matrix() return rotation_matrixdef quaternion2rotation_matrix(quaternion): r = R.from_quat(quaternion) rotation_matrix = r.as_matrix() return rotation_matrixdef rotation_matrix2euler(rotation_matrix): r = R.from_matrix(rotation_matrix) euler = r.as_euler('xyz', degrees=True) return euler def rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix): r = R.from_matrix(rotation_matrix) quaternion = r.as_quat() return quaternionif __name__ == '__main__': # 四元数=>欧拉角 quaternion = [0.71934025092983234, -1.876085535681999e-06, -3.274841213980097e-08, -0.69465790385533299] euler = quaternion2euler(quaternion) # [-9.20000743e+01 1.52039496e-04 -1.52039496e-04] print(f'euler: {euler}') # 四元数=>旋转矩阵 rotation_matrix = quaternion2rotation_matrix(quaternion) print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}') # 欧拉角=>四元数 quaternion = euler2quaternion(euler) print(f'quaternion: {quaternion}') # [-7.19340251e-01 1.87608554e-06 3.27484122e-08 6.94657904e-01] # 欧拉角=>旋转矩阵 rotation_matrix = euler2rotation(euler) print(f'rotation_matrix: {rotation_matrix}') # 旋转矩阵=>欧拉角 euler = rotation_matrix2euler(rotation_matrix) print(f'euler: {euler}') # 旋转矩阵=>四元数 quaternion = rotation_matrix2quaternion(rotation_matrix) print(f'quaternion: {quaternion}')
--结束END--
本文标题: 转换矩阵、平移矩阵、旋转矩阵关系以及python实现旋转矩阵、四元数、欧拉角之间转换
本文链接: https://www.lsjlt.com/news/411252.html(转载时请注明来源链接)
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