文章目录 一、基本概念1.1 引例1.2 正定二次型概念 二、正定二次型的判别写在最后 一、基本概念 1.1 引例 (1)二次型 f
(1)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 + 3 x22 + 2 x32 = X T AX f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+3x_2^2+2x_3^2=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12+3x22+2x32=XTAX 有如下特点:
(2)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − 2 x1 x2 + 4 x22 + 6 x32 = ( x1 − x2 )2 + 3 x22 + 6 x32 = X T AX f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-2x_1x_2+4x_2^2+6x_3^2=(x_1-x_2)^2+3x_2^2+6x_3^2=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,x3)=x12−2x1x2+4x22+6x32=(x1−x2)2+3x22+6x32=XTAX 有如下特点:
对二次型 f ( x1 , x2 , ⋯ , xn ) = X T AX f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\pmb{X^TAX} f(x1,x2,⋯,xn)=XTAX ,若对任意 X ≠ 0 \pmb{X}\ne\pmb{0} X=0 ,总有 X T AX > 0 \pmb{X^TAX}>0 XTAX>0 ,称 X T AX \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型, A \pmb{A} A 为正定矩阵。
定理 1 —— 二次型 X T AX \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的特征值均为正数。
定理 2 —— 二次型 X T AX \pmb{X^TAX} XTAX 为正定二次型的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的顺序主子式都大于 0 ,即 a 11 >0, ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ >0,⋯ ,∣ A ∣>0. a_{11}>0,\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}>0,\cdots,|\pmb{A}|>0. a11>0, a11a21a12a22 >0,⋯,∣A∣>0. 定理 3 —— 设 A T =A \pmb{A^T=A} AT=A ,则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 B \pmb{B} B 使得 A= B T B \pmb{A=B^TB} A=BTB 。
定理 4 —— 设 A T =A \pmb{A^T=A} AT=A ,则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 与 E \pmb{E} E 合同。
定理 5 —— 设 A T =A \pmb{A^T=A} AT=A ,则 A \pmb{A} A 为正定矩阵的充分必要条件是 A \pmb{A} A 的正惯性指数为 n n n 。
定理 6 —— 设 A,B \pmb{A,B} A,B 分别为 m m m 阶和 n n n 阶实对称矩阵,则 [ A 0 0 B ] \begin{bmatrix} \pmb{A} & \pmb{0} \\ \pmb{0} & \pmb{B} \end{bmatrix} [A00B] 为正定矩阵的充分必要条件为 A,B \pmb{A,B} A,B 均为正定矩阵。
二次型 f ( X ) = X T AX f(\pmb{X})=\pmb{X^TAX} f(X)=XTAX 正定的必要条件是 a i i > 0 ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) ; ∣ A ∣ > 0 a_{ii}>0(i=1,2,\cdots,n);|A|>0 aii>0(i=1,2,⋯,n);∣A∣>0 。
即可以先看看对角线元素和行列式是否大于 0 ,作初步判别。
若 A \pmb{A} A 为正定矩阵,则其一定可逆;且 A − 1 , A ∗ \pmb{A}^{-1},\pmb{A}^* A−1,A∗ 均正定。
若 A,B \pmb{A,B} A,B 都是正定矩阵,则 A + B \pmb{A}+\pmb{B} A+B 也是正定矩阵。
那线性代数到这,理论也就基本结束了。
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本文标题: 【考研数学】线性代数第六章 —— 二次型(3,正定矩阵与正定二次型)
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